Resolva as integrais abaixo:
\int x \ln \left[(7+x)^{2}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x \ln\left[(7+x)^{2}\right].
  • Não há limites de integração (é uma primitiva / integral indefinida).
  • Espera-se uma expressão em função de x mais uma constante de integração.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão do logaritmo usando a identidade dos logaritmos:
\ln\left[(7+x)^{2}\right]=2\ln\bigl|7+x\bigr|.
Essa igualdade vale porque \ln(a^{2})=2\ln|a| para a\neq0. Portanto a integral fica
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx = 2\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx.

Passo 3

Vamos agora resolver \displaystyle \int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx. Uma técnica adequada é a integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes (fórmula que vem da regra do produto): se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui escolhemos
u=\ln\bigl|7+x\bigr|,\qquad dv = x\,dx,
porque a derivada de \ln|7+x| simplifica bem e dv=x\,dx é fácil de integrar.

Passo 4

Calcular du e v:
du=\frac{d}{dx}\ln\bigl|7+x\bigr|\,dx=\frac{1}{7+x}\,dx, \qquad v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula de partes:
\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln\bigl|7+x\bigr| - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{7+x}\,dx.
Ou, escrevendo o fator 1/2 fora da integral,
\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln\bigl|7+x\bigr| - \frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{x+7}\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x+7}\,dx fazemos divisão de polinômios (ou observação algébrica). Dividindo x^{2} por x+7 obtemos:
\frac{x^{2}}{x+7}=x-7+\frac{49}{x+7},
porque (x+7)(x-7)=x^{2}-49, restando 49 no numerador. Assim
\int \frac{x^{2}}{x+7}\,dx = \int \left(x-7+\frac{49}{x+7}\right)dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \left(x-7+\frac{49}{x+7}\right)dx = \int x\,dx -7\int dx +49\int \frac{1}{x+7}\,dx.
Calculando cada integral:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int dx = x,\qquad \int \frac{1}{x+7}\,dx = \ln\bigl|x+7\bigr|.
Portanto
\int \frac{x^{2}}{x+7}\,dx = \frac{x^{2}}{2} -7x +49\ln\bigl|x+7\bigr| + C.
Voltando à expressão do Passo 4:
\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln\bigl|7+x\bigr| - \frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2} -7x +49\ln\bigl|x+7\bigr|\right)+C.

Passo 7

Simplificamos a expressão (distribuir o -\tfrac{1}{2}):
\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln\bigl|x+7\bigr| - \frac{x^{2}}{4} + \frac{7x}{2} - \frac{49}{2}\ln\bigl|x+7\bigr| + C.
Lembrando que a integral original tinha fator 2, ou seja
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx = 2\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx.
Multiplicando a expressão acima por 2:
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx = x^{2}\ln\bigl|x+7\bigr| - \frac{x^{2}}{2} + 7x - 49\ln\bigl|x+7\bigr| + C.

Passo 8

Opcionalmente podemos agrupar o termo com \ln\bigl|x+7\bigr|:
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx = \bigl(x^{2}-49\bigr)\ln\bigl|x+7\bigr| - \frac{x^{2}}{2} + 7x + C.
Onde C é a constante de integração.

Resposta

x^{2}\ln\bigl|x+7\bigr| - \frac{x^{2}}{2} + 7x - 49\ln\bigl|x+7\bigr| + C

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