Resolva as integrais abaixo: \int x \ln \left[(7+x)^{2}\right] d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx.
Informações dadas:
A função a integrar é x \ln\left[(7+x)^{2}\right].
Não há limites de integração (é uma primitiva / integral indefinida).
Espera-se uma expressão em função de x mais uma constante de integração.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão do logaritmo usando a identidade dos logaritmos:
\ln\left[(7+x)^{2}\right]=2\ln\bigl|7+x\bigr|.
Essa igualdade vale porque \ln(a^{2})=2\ln|a| para a\neq0. Portanto a integral fica
\int x \ln\left[(7+x)^{2}\right]\,dx = 2\int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx.
Passo 3
Vamos agora resolver \displaystyle \int x \ln\bigl|7+x\bigr|\,dx. Uma técnica adequada é a integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes (fórmula que vem da regra do produto): se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui escolhemos
u=\ln\bigl|7+x\bigr|,\qquad dv = x\,dx,
porque a derivada de \ln|7+x| simplifica bem e dv=x\,dx é fácil de integrar.