Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a soma de duas funções:
e . - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Primeiro uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Explicação rápida da propriedade: se
e
são integráveis, então
. Isso permite tratar cada parcela separadamente.
Passo 3
Calculo a primiera integral
. Uso a identidade trigonométrica de duplicação:
Essa identidade vem de
, isolando
. Substituindo na integral:
Agora calculo cada termo. A integral de
é
. Para
, uso a regra
. Assim:
Portanto
Passo 4
Calculo a segunda integral
. Reconheço que a derivada da função
é
, isto é,
. Por isso a primitiva é
Passo 5
Juntando as primitivas encontradas, uma antiderivada para o integrando é
Agora avalio a integral definida pelos limites
e
:
Passo 6
Calculo
e
passo a passo.
Para
:
-
-
então -
Somando:
Para
:
-
-
então -
Logo
.
Portanto a integral vale