Resolva as integrais abaixo:
\int_{0}^{\pi / 4}\left(\cos ^{2} t+\operatorname{sec} ^{2} t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi / 4}\left(\cos^{2} t+\operatorname{sec}^{2} t\right)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é a soma de duas funções: \cos^{2} t e \operatorname{sec}^{2} t.
  • Os limites de integração são t=0 (inferior) e t=\pi/4 (superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int_{0}^{\pi/4}\left(\cos^{2} t+\operatorname{sec}^{2} t\right)\,dt = \int_{0}^{\pi/4}\cos^{2} t\,dt + \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{2} t\,dt.
Explicação rápida da propriedade: se f e g são integráveis, então \int (f+g)=\int f+\int g. Isso permite tratar cada parcela separadamente.

Passo 3

Calculo a primiera integral \int \cos^{2} t\,dt. Uso a identidade trigonométrica de duplicação:
\cos^{2} t = \frac{1+\cos 2t}{2}.
Essa identidade vem de \cos 2t = 2\cos^{2}t -1, isolando \cos^{2}t. Substituindo na integral:
\int \cos^{2} t\,dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int 1\,dt + \frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt.
Agora calculo cada termo. A integral de 1 é t. Para \cos 2t, uso a regra \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax). Assim:
\int \cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\sin 2t.
Portanto
\int \cos^{2} t\,dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2t = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t.

Passo 4

Calculo a segunda integral \int \operatorname{sec}^{2} t\,dt. Reconheço que a derivada da função \tan t é \operatorname{sec}^{2} t, isto é, \frac{d}{dt}\tan t=\operatorname{sec}^{2} t. Por isso a primitiva é
\int \operatorname{sec}^{2} t\,dt = \tan t.

Passo 5

Juntando as primitivas encontradas, uma antiderivada para o integrando é
F(t)=\frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + \tan t.
Agora avalio a integral definida pelos limites 0 e \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\left(\cos^{2} t+\operatorname{sec}^{2} t\right)\,dt = F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - F(0).

Passo 6

Calculo F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) e F(0) passo a passo.
Para t=\dfrac{\pi}{4}:
  • \dfrac{1}{2}t = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8}.
  • \sin 2t = \sin\!\left(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, então \dfrac{1}{4}\sin 2t = \dfrac{1}{4}.
  • \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
Somando:
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{\pi}{8} + \frac{5}{4}.
Para t=0:
  • \dfrac{1}{2}t = 0.
  • \sin 0 = 0 então \dfrac{1}{4}\sin 0 = 0.
  • \tan 0 = 0.
Logo F(0)=0.
Portanto a integral vale
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0)=\frac{\pi}{8}+\frac{5}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{5}{4}

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