Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{d r}{r^{4}-r^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dr}{r^{4}-r^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é r.
  • O integrando é uma função racional com denominador r^{4}-r^{2}.
  • O denominador pode zerar em r=0 e em r=\pm1; portanto a expressão tem singularidades nesses pontos (isso é apenas para lembrar onde a primitiva não é definida).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) para a função \dfrac{1}{r^{4}-r^{2}}.

Passo 2

Fatorar o denominador para simplificar a integral. Isso é sempre uma boa primeira etapa em integrais racionais: ver se o polinômio do denominador se decompõe em fatores lineares/quadráticos simples.
r^{4}-r^{2}=r^{2}\bigl(r^{2}-1\bigr)=r^{2}(r-1)(r+1).
Logo a integral fica
\int \frac{dr}{r^{2}(r-1)(r+1)}.

Passo 3

Escolha do método: como temos uma função racional cujo grau do numerador (0) é menor que o do denominador (4) e o denominador já foi fatorado em fatores lineares possivelmente repetidos ( r com multiplicidade 2), o método natural é decomposição em frações parciais. Esse método transforma a integral numa soma de integrais simples do tipo \int r^n dr ou \int \dfrac{dr}{r-a}, que sabemos integrar facilmente.
Regra de decomposição (quando há factor r de multiplicidade 2 e fatores lineares r-1 e r+1):
\frac{1}{r^{2}(r-1)(r+1)}=\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{2}}+\frac{C}{r-1}+\frac{D}{r+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por r^{2}(r-1)(r+1) para obter uma identidade polinomial:
1=A\,r(r-1)(r+1)+B\,(r-1)(r+1)+C\,r^{2}(r+1)+D\,r^{2}(r-1).
Agora vamos determinar A,B,C,D. Uma forma rápida é substituir valores de r que anulem fatores.
  • Tomar r=0:
1 = B\,(0-1)(0+1)=B\cdot(-1)\cdot 1 = -B \quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Tomar r=1:
1 = C\cdot 1^{2}(1+1)=2C \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{2}.
  • Tomar r=-1:
1 = D\cdot (-1)^{2}(-1-1)=D\cdot 1\cdot(-2) = -2D \quad\Rightarrow\quad D=-\tfrac{1}{2}.
Resta A. Podemos obter A observando o coeficiente de r na identidade original (ou avaliando para um outro r). Vou comparar o coeficiente de r. Expansão parcial (só os termos que produzem r linear): o único termo que contribui para r^{1} é A\,r(r-1)(r+1)=A(r^{3}-r), cuja contribuição em r é -A r. A identidade à esquerda tem coeficiente 0 para r. Logo
-A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Confirmando coerência com os outros coeficientes: A=0, B=-1, C=\tfrac{1}{2}, D=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora escrevemos a decomposição encontrada:
\frac{1}{r^{2}(r-1)(r+1)}=-\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r+1}.
Portanto a integral se transforma em soma de integrais mais simples:
\int \frac{dr}{r^{4}-r^{2}}=\int\!\left(-\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r+1}\right)dr.

Passo 6

Integrar termo a termo. Lembrar das integrais básicas:
  • \displaystyle \int r^{n}dr=\frac{r^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq -1),
  • \displaystyle \int \frac{dr}{r-a}=\ln|r-a|+C.
Aplicando:
\int -\frac{1}{r^{2}}\,dr = -\int r^{-2}dr = -\left(-\frac{1}{r}\right)=\frac{1}{r}.
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r-1}\,dr = \frac{1}{2}\ln|r-1|.
\int -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r+1}\,dr = -\frac{1}{2}\ln|r+1|.

Passo 7

Somando as primitivas obtidas temos a primitiva geral
\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\ln|r-1|-\frac{1}{2}\ln|r+1|+C.
Podemos combinar os dois logaritmos numa só expressão logarítmica:
\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{r-1}{r+1}\right|+C.

Passo 8

(Sugestão de verificação rápida) Diferenciando a expressão encontrada deve retornar o integrando original. Derivada de \dfrac{1}{r} é -\dfrac{1}{r^{2}}. Derivada de \dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{r-1}{r+1}\right| é \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{r-1}-\dfrac{1}{r+1}\right)=\dfrac{1}{r^{2}-1}. Somando -\dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{r^{2}-1} e reduzindo ao mesmo denominador obtém-se \dfrac{1}{r^{2}(r^{2}-1)}, que é exatamente \dfrac{1}{r^{4}-r^{2}}. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{r-1}{r+1}\right|+C

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