Resolva as integrais abaixo: \int \frac{d r}{r^{4}-r^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dr}{r^{4}-r^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
A variável de integração é r.
O integrando é uma função racional com denominador r^{4}-r^{2}.
O denominador pode zerar em r=0 e em r=\pm1; portanto a expressão tem singularidades nesses pontos (isso é apenas para lembrar onde a primitiva não é definida).
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) para a função \dfrac{1}{r^{4}-r^{2}}.
Passo 2
Fatorar o denominador para simplificar a integral. Isso é sempre uma boa primeira etapa em integrais racionais: ver se o polinômio do denominador se decompõe em fatores lineares/quadráticos simples.
Escolha do método: como temos uma função racional cujo grau do numerador (0) é menor que o do denominador (4) e o denominador já foi fatorado em fatores lineares possivelmente repetidos (r com multiplicidade 2), o método natural é decomposição em frações parciais. Esse método transforma a integral numa soma de integrais simples do tipo \int r^n dr ou \int \dfrac{dr}{r-a}, que sabemos integrar facilmente.
Regra de decomposição (quando há factor r de multiplicidade 2 e fatores lineares r-1 e r+1):
Resta A. Podemos obter A observando o coeficiente de r na identidade original (ou avaliando para um outro r). Vou comparar o coeficiente de r. Expansão parcial (só os termos que produzem r linear): o único termo que contribui para r^{1} é A\,r(r-1)(r+1)=A(r^{3}-r), cuja contribuição em r é -A r. A identidade à esquerda tem coeficiente 0 para r. Logo
-A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Confirmando coerência com os outros coeficientes: A=0, B=-1, C=\tfrac{1}{2}, D=-\tfrac{1}{2}.
(Sugestão de verificação rápida) Diferenciando a expressão encontrada deve retornar o integrando original. Derivada de \dfrac{1}{r} é -\dfrac{1}{r^{2}}. Derivada de \dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{r-1}{r+1}\right| é \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{r-1}-\dfrac{1}{r+1}\right)=\dfrac{1}{r^{2}-1}. Somando -\dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{r^{2}-1} e reduzindo ao mesmo denominador obtém-se \dfrac{1}{r^{2}(r^{2}-1)}, que é exatamente \dfrac{1}{r^{4}-r^{2}}. Portanto a primitiva está correta.