Resolva as integrais abaixo:
\\\int \\\frac{d x}{1+16 x^{2}}\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{1+16x^2}.
Esse tipo de integral é da forma
\int \frac{dx}{1+a^2x^2},
cuja primitiva conhecida é
\displaystyle \frac{1}{a}\arctan(ax)+C.

Passo 2

Para colocar no formato acima, note que a^2=16 implica a=4. Fazendo a substituição
u = 4x,\quad du = 4\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4},
temos
\int \frac{dx}{1+16x^2} = \int \frac{1}{1+u^2}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \frac{du}{1+u^2}.

Passo 3

Sabendo que
\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan(u) + C,
concluímos que
\frac{1}{4}\int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{4}\arctan(u) + C = \frac{1}{4}\arctan(4x) + C.

Resposta

\frac{1}{4}\arctan(4x) + C

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