Resolva as integrais abaixo:
\\\int t \\\sqrt{7 t^{2}+12} d t\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int t \sqrt{7t^{2}+12}\,dt.
Estamos no contexto de técnicas de integração por substituição, pois dentro da raiz aparece uma função quadrática de t cujo diferencial é proporcional a t\,dt.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 7t^{2}+12,
para simplificar a raiz. Calculamos o diferencial:
du = 14t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{14}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int t \sqrt{7t^{2}+12}\,dt = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{14} = \frac{1}{14}\int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{14}, obtemos
\frac{1}{14}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{1}{21}\,u^{\tfrac32}.

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u = 7t^{2}+12 e adicionamos a constante de integração C:
\int t \sqrt{7t^{2}+12}\,dt = \frac{1}{21}\,(7t^{2}+12)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{(7t^{2}+12)^{\tfrac32}}{21} + C.

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