Resolva as integrais abaixo:
\\\int \\\frac{x^{2}+1}{\\\sqrt{x^{3}+3 x}} d x\\\

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{3}+3x}}\,dx.
Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, observando que a derivada de x^{3}+3x aparece proporcional ao numerador.

Passo 2

Defina
u = x^{3}+3x.
Então
du = (3x^{2}+3)\,dx = 3(x^{2}+1)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (x^{2}+1)\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{3}+3x}}\,dx = \int \frac{1}{3}\,\frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{3}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Agora integramos usando a regra de potência para u^{-\tfrac12}:
\frac{1}{3}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\cdot \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} + C = \frac{2}{3}\sqrt{u} + C.
Voltando à variável x, obtemos

Resposta

\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+3x} + C.

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