Resolva as integrais abaixo:
\\\int \\\frac{x^{3}}{\\\left(5 x^{4}+2\\\right)^{3}} d x\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{3}}{\bigl(5x^{4}+2\bigr)^{3}}\,dx
Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois o denominador envolve 5x^{4}+2 e o numerador tem x^{3}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x^{4}+2,
de onde
du = 20x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{20}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{x^{3}}{\bigl(5x^{4}+2\bigr)^{3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3}}\;\frac{du}{20} = \frac{1}{20}\,\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}\,u^{-2} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{20}, fica
\frac{1}{20}\,\int u^{-3}\,du = -\frac{1}{20}\cdot\frac{1}{2}\,u^{-2} + C = -\frac{1}{40}\,u^{-2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = 5x^{4}+2, temos
-\frac{1}{40}\,u^{-2} + C = -\frac{1}{40}\,\frac{1}{(5x^{4}+2)^{2}} + C.

Resposta

-\frac{1}{40\,(5x^{4}+2)^{2}} + C

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