Resolva as Integrais abaixo:
\int \frac{x+1}{x^{2}-7 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{x+1}{x^{2}-7 x+6}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é uma função racional com numerador x+1 e denominador x^{2}-7 x+6.
  • Não há outras condições; queremos uma antiderivada geral, então incluiremos a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático para ver a estrutura da função racional. Procuramos dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja -7. Esses números são -1 e -6. Portanto
x^{2}-7 x+6=(x-1)(x-6).

Passo 3

Quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos como (x-1)(x-6), uma técnica padrão é decompor a função racional em frações simples:
\frac{x+1}{(x-1)(x-6)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-6},
onde A e B são constantes a determinar. Isso funciona porque somando as frações do lado direito obtemos um numerador linear que pode ser igualado a x+1.

Passo 4

Igualamos numeradores multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-6)\): \[x+1 = A(x-6)+B(x-1).
Expandindo o lado direito:
x+1 = (A+B)x + (-6A - B).
Igualando coeficientes das potências de x obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] -6A - B = 1. \end{cases}
Da primeira equação B=1-A\]. Substituindo na segunda: \[-6A -(1-A)=1 \quad\Rightarrow\quad -6A-1+A=1 \quad\Rightarrow\quad -5A-1=1.\] Logo \(-5A=2 e
A=-\frac{2}{5}.
E então
B=1-A=1-(-\tfrac{2}{5})=\tfrac{7}{5}.]

Passo 5

Com A e B encontrados, reescrevemos o integrando:
\frac{x+1}{x^{2}-7 x+6}=\frac{-\tfrac{2}{5}}{x-1}+\frac{\tfrac{7}{5}}{x-6}=-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{x-6}.
Agora integramos termo a termo. Lembrete útil: a primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|, pois \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Assim,
\int -\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = -\frac{2}{5}\ln|x-1| + C_1,
\int \frac{7}{5}\cdot\frac{1}{x-6}\,dx = \frac{7}{5}\ln|x-6| + C_2.
Somando e reunindo as constantes em uma só C, a primitiva geral é
-\frac{2}{5}\ln|x-1|+\frac{7}{5}\ln|x-6|+C.

Passo 6

Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos num único logaritmo:
-\frac{2}{5}\ln|x-1|+\frac{7}{5}\ln|x-6|=\frac{1}{5}\ln\!\left|\frac{(x-6)^{7}}{(x-1)^{2}}\right|,
mas tanto a forma com soma de logaritmos quanto a forma com um log único estão corretas.

Resposta

-\dfrac{2}{5}\ln|x-1|+\dfrac{7}{5}\ln|x-6|+C

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