Resolva as Integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- O integrando é uma função racional com numerador
e denominador . - Não há outras condições; queremos uma antiderivada geral, então incluiremos a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático para ver a estrutura da função racional. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Portanto
Passo 3
Quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos como
, uma técnica padrão é decompor a função racional em frações simples:
onde
e
são constantes a determinar. Isso funciona porque somando as frações do lado direito obtemos um numerador linear que pode ser igualado a
.
Passo 4
Igualamos numeradores multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes das potências de
obtemos o sistema linear
Da primeira equação
e
E então
Passo 5
Com
e
encontrados, reescrevemos o integrando:
Agora integramos termo a termo. Lembrete útil: a primitiva de
é
, pois
. Assim,
Somando e reunindo as constantes em uma só
, a primitiva geral é
Passo 6
Opcionalmente pode-se combinar os logaritmos num único logaritmo:
mas tanto a forma com soma de logaritmos quanto a forma com um log único estão corretas.