Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}.
Informações dadas:
  • O integrando é a função \dfrac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}.
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando.
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da função (motivo da substituição que vamos usar): dentro da raiz de quarto aparece a expressão \,x^{3}+2, e o numerador contém x^{2}\,dx, que é quase o diferencial dessa expressão (pois a derivada de x^{3}+2 é 3x^{2}). Isso sugere a substituição
u = x^{3}+2.
Agora calculemos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx temos
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Primeiro, a raiz de quarto no denominador é \sqrt[4]{x^{3}+2}=(x^{3}+2)^{1/4}, então o integrando vira (x^{3}+2)^{-1/4}. Substituindo \,x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}du e x^{3}+2=u, obtemos
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt[4]{x^{3}+2}} = \int \frac{x^{2}\,dx}{(x^{3}+2)^{1/4}} = \int \frac{1}{(u)^{1/4}}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{-1/4}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{4}, logo n+1=\tfrac{3}{4}. Assim
\int u^{-1/4}\,du = \frac{u^{3/4}}{3/4} + C = \frac{4}{3}u^{3/4}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que estava fora da integral, temos
\frac{1}{3}\int u^{-1/4}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}u^{3/4}+C = \frac{4}{9}u^{3/4}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x usando u=x^{3}+2, a primitiva encontrada é
F(x)=\frac{4}{9}\bigl(x^{3}+2\bigr)^{3/4}+C.

Passo 6

Checagem rápida por derivação (para ganhar confiança): calcule F'(x).
Usando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{4}\bigl(x^{3}+2\bigr)^{-1/4}\cdot 3x^{2}.
Simplificando os fatores \tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{3}{4}\cdot 3 = 1, obtemos
F'(x)=x^{2}\bigl(x^{3}+2\bigr)^{-1/4}=\frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}\bigl(x^{3}+2\bigr)^{3/4}+C

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