Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que seja o integrando. - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da função (motivo da substituição que vamos usar): dentro da raiz de quarto aparece a expressão
, e o numerador contém
, que é quase o diferencial dessa expressão (pois a derivada de
é
). Isso sugere a substituição
Agora calculemos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 3
Reescrevemos a integral em termos de
. Primeiro, a raiz de quarto no denominador é
, então o integrando vira
. Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, logo
. Assim
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral, temos
Passo 5
Voltando à variável original
usando
, a primitiva encontrada é
Passo 6
Checagem rápida por derivação (para ganhar confiança): calcule
.
Usando a regra da cadeia,
Usando a regra da cadeia,
Simplificando os fatores
, obtemos
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.