5(1,0) Descreva as superfícies de nível f=c para c \in\{-1,0,4\}, sendo f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z

Passo 1

O enunciado pede: descrever as superfícies de nível f=c para c\in\{-1,0,4\}, onde está dada a função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z.
Informações fornecidas:
  • A função é \;f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\;.
  • Precisamos estudar os conjuntos \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=c\} para cada c em \{-1,0,4\}.
  • Não há outras restrições nos domínios de x,y,z.

Passo 2

O que significa “superfície de nível” aqui (explicação didática): para um valor fixo \;c\;, a superfície de nível é o conjunto de pontos (x,y,z) cuja imagem pela função é exatamente \;c\;. Em notação:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z=c\}.
Isto é, todos os pontos em \mathbb{R}^{3} que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a equação da superfície de nível para escrever z em função de x e y. Partimos de
x^{2}+y^{2}+z=c.
Isolando z obtemos
z=c-x^{2}-y^{2}.
Explicando os símbolos: (x,y) são coordenadas no plano horizontal e z é a coordenada vertical. Essa expressão significa que, para cada par (x,y), a altura z é dada por \;c-x^{2}-y^{2}\;.

Passo 4

Interpretação geométrica geral (aula rápida): a equação
z=c-x^{2}-y^{2}
é a equação de um paraboloide circular com eixo no eixo z. Características importantes:
  • Vértice: ocorre quando x=0 e y=0, logo o vértice é o ponto (0,0,c).
  • Abertura: como os coeficientes de x^{2} e y^{2} são negativos ( -1), o paraboloide “abre para baixo” (tem um máximo no vértice e decresce ao afastar-se da origem).
  • Seções transversais:
    • Cortando por um plano horizontal z=z_{0} obtemos a circunferência
    x^{2}+y^{2}=c-z_{0},válida somente se c-z_{0}\ge 0; o raio é \sqrt{c-z_{0}}.
    • Cortes por planos do tipo y= constante ou x= constante dão parábolas do tipo z=c-x^{2} ou z=c-y^{2}.

Passo 5

Agora descrevo especificamente para \;c=-1\;:
A superfície é
z=-1-x^{2}-y^{2}.
  • Vértice: (0,0,-1).
  • Máxima altura: z_{\max}=-1 alcançada somente no vértice; para todo (x,y)\neq(0,0) temos z<-1. Ou seja, toda a superfície está em níveis z\le -1.
  • Interseção com o plano z=0: resolver 0=-1-x^{2}-y^{2} x^{2}+y^{2}=-1, impossível; portanto não intercepta z=0.
  • Em z=-1 a interseção é x^{2}+y^{2}=0, ou seja apenas o ponto (0,0,-1).

Passo 6

Descrição para \;c=0\;:
A superfície é
z=-x^{2}-y^{2}.
  • Vértice: (0,0,0).
  • Máxima altura: z_{\max}=0 no vértice; a superfície fica em z\le 0.
  • Interseção com z=0: solução x^{2}+y^{2}=0 -> ponto (0,0,0).
  • Para uma corte, por exemplo z=-1, a interseção é x^{2}+y^{2}=1, uma circunferência de raio 1.

Passo 7

Descrição para \;c=4\;:
A superfície é
z=4-x^{2}-y^{2}.
  • Vértice: (0,0,4).
  • Máxima altura: z_{\max}=4 no vértice; a superfície fica em z\le 4.
  • Interseção com z=0: resolver 0=4-x^{2}-y^{2} x^{2}+y^{2}=4, uma circunferência de raio 2. Assim essa superfície corta o plano z=0 numa circunferência de raio 2.
  • Em z=4 a interseção é o ponto (0,0,4).

Passo 8

Observações finais e comparação entre os três casos:
  • Todos os três níveis são paraboloides circulares congruentes, apenas deslocados ao longo do eixo z; a diferença é a altura do vértice, que é c.
  • Para valores maiores de c o paraboloide está mais alto; eles não se interceptam (um ponto não pode satisfazer f=c_{1} e f=c_{2} com c_{1}\neq c_{2}).
  • Cada superfície é o gráfico da função (x,y)\mapsto c-x^{2}-y^{2}, ou seja, um “cacho” invertido de parábolas com eixo vertical.

Resposta

c=-1:\;z=-1-x^{2}-y^{2}. Paraboloide circular com vértice em (0,0,-1), abre para baixo, toda em z\le -1.\n
c=0:\;z=-x^{2}-y^{2}. Paraboloide circular com vértice em (0,0,0), abre para baixo, toda em z\le 0.\n
c=4:\;z=4-x^{2}-y^{2}. Paraboloide circular com vértice em (0,0,4), abre para baixo, corta o plano z=0 numa circunferência de raio 2.

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