Descreva as superfícies de nível
para
, sendo
Passo 1
O enunciado pede: descrever as superfícies de nível
para
, onde está dada a função
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - Precisamos estudar os conjuntos
para cada em . - Não há outras restrições nos domínios de
.
Passo 2
O que significa “superfície de nível” aqui (explicação didática): para um valor fixo
, a superfície de nível é o conjunto de pontos
cuja imagem pela função é exatamente
. Em notação:
Isto é, todos os pontos em
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos manipular algebricamente a equação da superfície de nível para escrever
em função de
e
. Partimos de
Isolando
obtemos
Explicando os símbolos:
são coordenadas no plano horizontal e
é a coordenada vertical. Essa expressão significa que, para cada par
, a altura
é dada por
.
Passo 4
Interpretação geométrica geral (aula rápida): a equação
é a equação de um paraboloide circular com eixo no eixo
. Características importantes:
- Vértice: ocorre quando
e , logo o vértice é o ponto . - Abertura: como os coeficientes de
e são negativos ( ), o paraboloide “abre para baixo” (tem um máximo no vértice e decresce ao afastar-se da origem). - Seções transversais:
- Cortando por um plano horizontal
obtemos a circunferência
válida somente se ; o raio é . - Cortes por planos do tipo
constante ou constante dão parábolas do tipo ou .
- Cortando por um plano horizontal
Passo 5
Agora descrevo especificamente para
A superfície é
A superfície é
- Vértice:
. - Máxima altura:
alcançada somente no vértice; para todo temos . Ou seja, toda a superfície está em níveis . - Interseção com o plano
: resolver dá , impossível; portanto não intercepta . - Em
a interseção é , ou seja apenas o ponto .
Passo 6
Descrição para
A superfície é
A superfície é
- Vértice:
. - Máxima altura:
no vértice; a superfície fica em . - Interseção com
: solução -> ponto . - Para uma corte, por exemplo
, a interseção é , uma circunferência de raio .
Passo 7
Descrição para
A superfície é
A superfície é
- Vértice:
. - Máxima altura:
no vértice; a superfície fica em . - Interseção com
: resolver dá , uma circunferência de raio . Assim essa superfície corta o plano numa circunferência de raio . - Em
a interseção é o ponto .
Passo 8
Observações finais e comparação entre os três casos:
- Todos os três níveis são paraboloides circulares congruentes, apenas deslocados ao longo do eixo
; a diferença é a altura do vértice, que é . - Para valores maiores de
o paraboloide está mais alto; eles não se interceptam (um ponto não pode satisfazer e com ). - Cada superfície é o gráfico da função
, ou seja, um “cacho” invertido de parábolas com eixo vertical.