Resolva as integrais abaixo:
\\\int x^{3} \\\sqrt{5+x^{4}} d x\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\sqrt{5 + x^{4}}\;dx.
Este é um problema de integração de função composta, e vamos usar o método de substituição para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5 + x^{4}.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, substituímos \sqrt{5 + x^{4}} = \sqrt{u} e x^{3}\,dx = \tfrac{1}{4}du. Logo,
\int x^{3}\sqrt{5 + x^{4}}\;dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du.
Agora basta integrar potências de u:
\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{u^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}}.
Portanto,
\frac{1}{4}\int u^{\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}} = \frac{u^{\tfrac{3}{2}}}{6}.

Passo 4

Voltamos à variável x usando u = 5 + x^{4}. Assim, a primitiva original é
\frac{(5 + x^{4})^{\tfrac{3}{2}}}{6} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int x^{3}\sqrt{5 + x^{4}}\;dx = \frac{(5 + x^{4})^{\tfrac{3}{2}}}{6} + C.

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