(a) Utilize coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera
e por baixo pelo cone
ou
, onde
, é
(b) Deduza que o volume da cunha esférica dada por
© Utilize o Teorema do Valor Médio para mostrar que o volume da parte (b) pode ser escrito como
onde
está entre
e
está entre
e
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede em (a) o volume do sólido limitado acima pela esfera r²+z²=a² e abaixo pelo cone z=r cotφ₀, usando coordenadas cilíndricas; em (b) o volume de uma cunha esférica numa região dada em coordenadas esféricas; e em © reescrever esse volume pela forma média usando o Teorema do Valor Médio. Vamos usar em (a) o elemento de volume dV=r
dr
dθ
dz, e em (b) dV=ρ²
sinφ
dρ
dφ
dθ.
dr
dθ
dz, e em (b) dV=ρ²
sinφ
dρ
dφ
dθ.
Passo 2
Para (a), em coordenadas cilíndricas θ vai de 0 a 2π, r de 0 ao valor onde cone e esfera se encontram. Na interseção r²+(r
cotφ₀)²=a² surge r=a
sinφ₀. Para cada (r,θ), z varia de z=r
cotφ₀ até z=√(a²−r²).
cotφ₀)²=a² surge r=a
sinφ₀. Para cada (r,θ), z varia de z=r
cotφ₀ até z=√(a²−r²).
Passo 3
Montamos então a integral tripla: V=∫₀^{2π}dθ ∫₀^{a
sinφ₀}dr ∫_{r
cotφ₀}^{√(a²−r²)} r
dz =2π ∫₀^{a
sinφ₀}[r
√(a²−r²) − r²
cotφ₀]dr.
sinφ₀}dr ∫_{r
cotφ₀}^{√(a²−r²)} r
dz =2π ∫₀^{a
sinφ₀}[r
√(a²−r²) − r²
cotφ₀]dr.
Passo 4
Para ∫₀^{a
sinφ₀} r
√(a²−r²)dr fazemos u=a²−r² ⇒ du=−2r
dr, obtendo −⅓(a²−r²)^{3/2} avaliado em 0 e a
sinφ₀, que dá (a³/3)(1−cos³φ₀). E ∫₀^{a
sinφ₀}r²dr=(a³/3)sin³φ₀. Multiplicando sin³φ₀
cotφ₀=sin²φ₀
cosφ₀.
sinφ₀} r
√(a²−r²)dr fazemos u=a²−r² ⇒ du=−2r
dr, obtendo −⅓(a²−r²)^{3/2} avaliado em 0 e a
sinφ₀, que dá (a³/3)(1−cos³φ₀). E ∫₀^{a
sinφ₀}r²dr=(a³/3)sin³φ₀. Multiplicando sin³φ₀
cotφ₀=sin²φ₀
cosφ₀.
Passo 5
Somando os termos em 2π/3
a³: 1−cos³φ₀−sin²φ₀
cosφ₀ =1−cosφ₀, pois sin²φ₀=1−cos²φ₀. Logo V=(2π
a³/3)(1−cosφ₀).
a³: 1−cos³φ₀−sin²φ₀
cosφ₀ =1−cosφ₀, pois sin²φ₀=1−cos²φ₀. Logo V=(2π
a³/3)(1−cosφ₀).
Passo 6
No item (b) usamos coordenadas esféricas: θ∈[θ₁,θ₂], φ∈[φ₁,φ₂], ρ∈[ρ₁,ρ₂], e dV=ρ²
sinφ
dρ
dφ
dθ. Integramos primeiro em ρ: ∫ρ₁^{ρ₂}ρ²dρ=(ρ₂³−ρ₁³)/3.
sinφ
dρ
dφ
dθ. Integramos primeiro em ρ: ∫ρ₁^{ρ₂}ρ²dρ=(ρ₂³−ρ₁³)/3.
Passo 7
Depois em φ: ∫_{φ₁}^{φ₂}sinφ
dφ=cosφ₁−cosφ₂. E finalmente em θ: ∫_{θ₁}^{θ₂}dθ=θ₂−θ₁. Juntando, ΔV = ((ρ₂³−ρ₁³)/3)(cosφ₁−cosφ₂)(θ₂−θ₁).
dφ=cosφ₁−cosφ₂. E finalmente em θ: ∫_{θ₁}^{θ₂}dθ=θ₂−θ₁. Juntando, ΔV = ((ρ₂³−ρ₁³)/3)(cosφ₁−cosφ₂)(θ₂−θ₁).
Passo 8
Em © notamos que a função f(ρ,φ,θ)=ρ²
sinφ é contínua no paralelepípedo dado por [ρ₁,ρ₂]×[φ₁,φ₂]×[θ₁,θ₂]. Pelo Teorema do Valor Médio existe (ρ̃,φ̃,θ̃) nesse domínio tal que a integral de f no domínio é f(ρ̃,φ̃,θ̃) vezes o volume do domínio.
sinφ é contínua no paralelepípedo dado por [ρ₁,ρ₂]×[φ₁,φ₂]×[θ₁,θ₂]. Pelo Teorema do Valor Médio existe (ρ̃,φ̃,θ̃) nesse domínio tal que a integral de f no domínio é f(ρ̃,φ̃,θ̃) vezes o volume do domínio.
Passo 9
Como f não depende de θ, podemos escrever ΔV = ρ̃²
sinφ̃
(ρ₂−ρ₁)(φ₂−φ₁)(θ₂−θ₁). Definindo Δρ=ρ₂−ρ₁, Δφ=φ₂−φ₁, Δθ=θ₂−θ₁, obtemos ΔV=ρ̃²
sinφ̃
Δρ
Δθ
Δφ, com ρ₁<ρ̃<ρ₂ e φ₁<φ̃<φ₂.
sinφ̃
(ρ₂−ρ₁)(φ₂−φ₁)(θ₂−θ₁). Definindo Δρ=ρ₂−ρ₁, Δφ=φ₂−φ₁, Δθ=θ₂−θ₁, obtemos ΔV=ρ̃²
sinφ̃
Δρ
Δθ
Δφ, com ρ₁<ρ̃<ρ₂ e φ₁<φ̃<φ₂.
Resposta
(a)
. (b)
. ©
, onde
e
.