Resolva as integrais abaixo:
∫ x^2 e^x dx.

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral indefinida
\int x^2 e^x \, dx.
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, que usa o teorema
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = x^2, \quad dv = e^x\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = e^x.
Logo,
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx.

Passo 3

Para calcular \int 2x e^x \, dx, fatoramos o 2 e aplicamos novamente partes em
\int x e^x \, dx.
Escolhendo
u = x, \quad dv = e^x\,dx
resulta em
du = dx, \quad v = e^x,
portanto
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x.
Multiplicando por 2, obtemos
\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - 2e^x.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de

Passo 5

\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \bigl(2x e^x - 2e^x\bigr) + C = e^x\bigl(x^2 - 2x + 2\bigr) + C.

Resposta

\int x^2 e^x \, dx = e^x\bigl(x^2 - 2x + 2\bigr) + C.

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