(2,0 pontos) Calcule a área formada pela curva
. Calcule a área formada pela curva
. Para isto, utilize a fórmula
Passo 1
O enunciado pede a área analisando a curva no plano polar dada por
. O conteúdo requerido é o cálculo de área em coordenadas polares, em que usamos a fórmula
para um intervalo
que descreva a curva completa.
Passo 2
Determinar o intervalo de integração: como
é um cardioide traçado uma vez quando
vai de
até
, escolhemos
Passo 3
Calcular
. Temos
Passo 4
Montar a integral de área:
Separemos em três integrais:
Passo 5
Avaliar cada termo:
-
-
- Para
, usamos a identidade , então
Passo 6
Somando os resultados dentro da integral antes do fator
:
Multiplicando por
temos
Resposta
A área encerrada pela curva
é
.