(2,0 pontos) Calcule a área formada pela curva \rho=2-2 \cos (\theta). Calcule a área formada pela curva \rho=2-2 \cos (\theta). Para isto, utilize a fórmula
A=\int_{\theta_{0}}^{\theta} \rho^{2}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede a área analisando a curva no plano polar dada por \rho=2-2\cos(\theta). O conteúdo requerido é o cálculo de área em coordenadas polares, em que usamos a fórmula
A = \tfrac12\int_{\theta_0}^{\theta_1} \rho^2(\theta)\,d\theta
para um intervalo [\theta_0,\theta_1] que descreva a curva completa.

Passo 2

Determinar o intervalo de integração: como \rho=2-2\cos(\theta) é um cardioide traçado uma vez quando \theta vai de 0 até 2\pi, escolhemos
\theta_0 = 0, \quad \theta_1 = 2\pi.

Passo 3

Calcular \rho^2(\theta). Temos
\rho^2 = (2-2\cos\theta)^2 = 4 - 8\cos\theta +4\cos^2\theta.

Passo 4

Montar a integral de área:
A = \tfrac12 \int_{0}^{2\pi} \bigl(4 - 8\cos\theta +4\cos^2\theta\bigr)\,d\theta.
Separemos em três integrais:

Passo 5

Avaliar cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\cdot(2\pi) = 8\pi.
  2. \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-8\cos\theta)\,d\theta = -8\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 0.
  3. Para \cos^2\theta, usamos a identidade \cos^2\theta=\tfrac12(1+\cos2\theta), então
\int_{0}^{2\pi}4\cos^2\theta\,d\theta =4\int_{0}^{2\pi}\tfrac12(1+\cos2\theta)\,d\theta =2\Bigl[\theta + \tfrac12\sin2\theta\Bigr]_{0}^{2\pi} =2\,(2\pi)=4\pi.

Passo 6

Somando os resultados dentro da integral antes do fator \tfrac12:
8\pi + 0 + 4\pi = 12\pi.
Multiplicando por \tfrac12 temos
A = \tfrac12\cdot 12\pi = 6\pi.

Resposta

A área encerrada pela curva \rho=2-2\cos(\theta) é 6\pi.

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