Resolva as integrais:
b) \int_{0}^{2} x \sqrt{4-x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: \n
  • Dado o integral definido \displaystyle \int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^{2}}\,dx. \n
  • A tarefa é calcular o valor numérico desse integral definido.

Passo 2

Escolher uma estratégia: \n
O integrando tem a forma x multiplicando \sqrt{4-x^{2}}. Repare que a expressão dentro da raiz, 4-x^{2}, tem derivada em relação a x proporcional a x (mais precisamente \frac{d}{dx}(4-x^{2})=-2x). Isso sugere a substituição simples u=4-x^{2}, porque assim o fator x\,dx aparece diretamente na diferencial du. A substituição reduz a raiz a \sqrt{u}, que é fácil de integrar com a regra de potências.

Passo 3

Fazer a substituição e transformar o integral (incluindo os limites): \n
Defina u=4-x^{2}. Então \,du=-2x\,dx, ou equivalentemente x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,du. \n
Trocar os limites de integração: \n
  • Quando x=0, u=4-0^{2}=4. \n
  • Quando x=2, u=4-2^{2}=0. \n
    Substituindo no integral, obtemos o integral em u:
\int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^{2}}\,dx = \int_{u=4}^{u=0} \sqrt{u}\left(-\dfrac{1}{2}\,du\right).
Podemos tirar o sinal negativo trocando os limites:
\int_{u=4}^{u=0} -\dfrac{1}{2}\sqrt{u}\,du = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{4} \sqrt{u}\,du.

Passo 4

Integrar usando a regra de potências: \n
Regra de potências para integrais indefinidas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos \sqrt{u}=u^{1/2}, então aplicando a regra com n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}.
Voltando ao integral definido:
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{4} \sqrt{u}\,du = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{4} = \dfrac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_{0}^{4}.

Passo 5

Avaliar nos extremos e concluir: \n
Calcule 4^{3/2}. Lembre que u^{3/2}=(\sqrt{u})^{3}, então
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.
Substituindo:
\dfrac{1}{3}\bigl(4^{3/2}-0^{3/2}\bigr)=\dfrac{1}{3}\cdot 8=\dfrac{8}{3}.
Portanto o valor do integral é \dfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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