Calcule a seguinte integral:
\int_{1}^{2} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \ln(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \ln(x).
  • Os limites de integração são 1 e 2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico exato dessa integral?

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou primeiro explicar de onde vem a fórmula, devagarinho.
A regra do produto na diferenciação diz que, para funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx = \int u'v\,dx + \int u v'\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente uv. Rearranjando,
\int u v'\,dx = uv - \int u' v\,dx.
Esta é a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Agora vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Escolha das partes (regra prática): é comum escolher u como uma função que fique mais simples ao derivar, e dv como algo fácil de integrar.
Escolho
u=\ln(x),\qquad dv=dx.
Agora calculo du e v:
du=\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)\,dx=\frac{1}{x}\,dx, \qquad v=\int dv=\int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x + C.
Portanto uma primitiva é
F(x)=x\ln(x)-x + C.

Passo 5

Agora uso essa primitiva para avaliar a integral definida de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \ln(x)\,dx = \big[\,x\ln(x)-x\,\big]_{1}^{2} = \big(2\ln(2)-2\big)-\big(1\ln(1)-1\big).
Lembrando que \ln(1)=0, obtemos
\int_{1}^{2} \ln(x)\,dx = 2\ln(2)-2 - (0-1) = 2\ln(2)-2+1 = 2\ln(2)-1.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): derivando a primitiva F(x)=x\ln(x)-x,
F'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\ln(x)\big)-\frac{d}{dx}(x)=\big(1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}\big)-1=\ln(x)+1-1=\ln(x),
logo a primitiva está correta e a avaliação acima é consistente.

Resposta

2\ln(2)-1

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