Calcule a seguinte integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
A pergunta é: qual é o valor numérico exato dessa integral?
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Vou primeiro explicar de onde vem a fórmula, devagarinho.
A regra do produto na diferenciação diz que, para funções
e
,
Integrando ambos os lados em
obtemos
O lado esquerdo é simplesmente
. Rearranjando,
Esta é a fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
e
. Agora vou aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Escolha das partes (regra prática): é comum escolher
como uma função que fique mais simples ao derivar, e
como algo fácil de integrar.
Escolho
Agora calculo
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando o integrando:
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Agora uso essa primitiva para avaliar a integral definida de
a
:
Lembrando que
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): derivando a primitiva
,
logo a primitiva está correta e a avaliação acima é consistente.