Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral sec ^3 x d x=12(sec x tan x)+ln |sec x+tan x|+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a integral de sec^3 x em relação a x. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas que envolvem a secante ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integração por partes é uma técnica que se baseia na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma que a integral se torne mais simples. Para u , podemos deixar:
dv

Passo 3

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
du
v
Mas como estamos fazendo integração por partes, podemos ignorar a constante de integração por enquanto.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sec^3 x , dx = u cdot v - integral v , du
= sec x cdot tan x - integral tan x cdot sec x tan x , dx
Simplificando a segunda integral:
= sec x tan x - integral sec x tan^2 x , dx

Passo 5

Agora, lembrando que $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $, podemos substituir na integral:
tan^2 x = sec^2 x - 1
= sec x tan x - integral sec x (sec^2 x - 1) , dx

Passo 6

Rearranjando os termos, temos:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 integral sec x , dx
Sabemos que $ \int \sec x , dx = \ln |\sec x + \tan x| + C $, então substituindo:
integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C

Resposta

integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C

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