Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas que envolvem a secante ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integração por partes é uma técnica que se baseia na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Vamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma que a integral se torne mais simples. Para
, podemos deixar:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
Mas como estamos fazendo integração por partes, podemos ignorar a constante de integração por enquanto.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 5
Agora, lembrando que $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $, podemos substituir na integral:
Passo 6
Rearranjando os termos, temos:
Sabemos que $ \int \sec x , dx = \ln |\sec x + \tan x| + C $, então substituindo: