Seja z=f(x, y) com f diferenciável,
l x=g(t), y=h(t) e g(3)=4, h(3)=7, g^prime(3)=2, h^prime(3)=-3, fx(4,7)=-1 e fy(4,7)=9 Calcu<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável. As variáveis $ x $ e $ y $ dependem de $ t $, ou seja, $ x = g(t) $ e $ y = h(t) $. As informações dadas são:
  • $ g(3) = 4 $
  • $ h(3) = 7 $
  • $ g’(3) = 2 $
  • $ h’(3) = -3 $
  • $ f_x(4, 7) = -1 $
  • $ f_y(4, 7) = 9 $
O que precisamos calcular aqui é a taxa de variação de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $ quando $ t = 3 $. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções compostas. Se $ z = f(x, y) $, e $ x $ e $ y $ são funções de $ t $, então a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é dada por:
z = f(x, y)
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar cada parte que precisamos:
  • $ \frac{\partial f}{\partial x} = f_x(4, 7) = -1 $
  • $ \frac{\partial f}{\partial y} = f_y(4, 7) = 9 $
  • $ \frac{dx}{dt} = g’(3) = 2 $
  • $ \frac{dy}{dt} = h’(3) = -3 $

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia, temos:
dzdt = (-1) cdot 2 + 9 cdot (-3)

Passo 5

Calculando cada termo:
(-1) cdot 2 = -2
9 cdot (-3) = -27
Somando os dois resultados:
-2 + (-27) = -29

Resposta

Portanto, a taxa de variação de $ z $ em relação a $ t $ quando $ t = 3 $ é $ \frac{dz}{dt} = -29 $.

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