Seja
com
diferenciável,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável. As variáveis $ x $ e $ y $ dependem de $ t $, ou seja, $ x = g(t) $ e $ y = h(t) $. As informações dadas são:
- $ g(3) = 4 $
- $ h(3) = 7 $
- $ g’(3) = 2 $
- $ h’(3) = -3 $
- $ f_x(4, 7) = -1 $
- $ f_y(4, 7) = 9 $
O que precisamos calcular aqui é a taxa de variação de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $ quando $ t = 3 $. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para funções compostas. Se $ z = f(x, y) $, e $ x $ e $ y $ são funções de $ t $, então a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é dada por:
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar cada parte que precisamos:
- $ \frac{\partial f}{\partial x} = f_x(4, 7) = -1 $
- $ \frac{\partial f}{\partial y} = f_y(4, 7) = 9 $
- $ \frac{dx}{dt} = g’(3) = 2 $
- $ \frac{dy}{dt} = h’(3) = -3 $
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia, temos:
Passo 5
Calculando cada termo:
Somando os dois resultados:
Resposta
Portanto, a taxa de variação de $ z $ em relação a $ t $ quando $ t = 3 $ é $ \frac{dz}{dt} = -29 $.