Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral 4 x^2+6x^3+3 x d x=ln |x^2|+ln |x^2+3|+C

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral4x^2+6x^3+3x,dx e mostrar que o resultado é ln|x^2|+ln|x^2+3|+C. Vamos usar frações parciais para isso.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^3+3x:
x^3+3x = x(x^2+3)
Para decompor em frações parciais, escrevemos:
4x^2+6x(x^2+3) = Ax + Bx+Cx^2+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^2+3) e comparando coeficientes, temos:
4x^2+6 = A(x^2+3) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + 3A
Comparando termos:
  • Coeficiente de x^2: A+B=4.
  • Coeficiente de x: C=0.
  • Termo constante: 3A=6 A=2. Então B=4-2=2 e C=0.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos:
integral4x^2+6x(x^2+3),dx = integral2x,dx + integral2xx^2+3,dx
Agora integramos cada parte:
  • integral2x,dx = 2ln|x| + C1
  • Fazendo u=x^2+3, du=2x,dx,
    integral2xx^2+3,dx = integral1u,du = ln|u| + C2 = ln(x^2+3)+C2

Passo 5

Somando as integrais e absorvendo constantes em C, temos:
2ln|x| + ln(x^2+3) + C
Como 2ln|x| = ln|x^2|, o resultado final fica explicito.

Resposta

ln|x^2| + ln|x^2+3| + C

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