Resolva as integrais para concluir as igualdades.
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral de
em relação a
. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades de redução de potência e ângulo duplo.
Passo 2
Usamos a identidade de ângulo duplo
para reescrever o integrando. Como
temos
Agora aplicamos a fórmula de redução de potência
com
:
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$$\frac{1}{4}\int\sin^2(2x),dx
=\frac{1}{4}\int\frac{1-\cos(4x)}{2},dx
=\frac{1}{8}\int(1-\cos(4x)),dx.
\frac{1}{8}\int1,dx-\frac{1}{8}\int\cos(4x),dx
=\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4x)}{4}+C
=\frac{x}{8}-\frac{\sin(4x)}{32}+C.
\frac{x}{8}-\frac{\sin(4x)}{32}
=\frac{1}{4}\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{\sin(4x)}{8}\Bigr)+C.$$