Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral sin ^2 x cos ^2 x d x=14(x2-sin (4 x)8)+C

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral de sin^2 x cos^2 x em relação a x. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades de redução de potência e ângulo duplo.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo sin(2x)=2sin xcos x para reescrever o integrando. Como
sin^2 x,cos^2 x=(sin(2x)2)^2=sin^2(2x)4,
temos
integralsin^2 xcos^2 x,dx=14integralsin^2(2x),dx
Agora aplicamos a fórmula de redução de potência sin^2u=(1-cos(2u))/2 com u=2x:
sin^2(2x)=1-cos(4x)2,
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$$\frac{1}{4}\int\sin^2(2x),dx
=\frac{1}{4}\int\frac{1-\cos(4x)}{2},dx
=\frac{1}{8}\int(1-\cos(4x)),dx. 14integralsin^2(2x),dx =14integral1-cos(4x)2,dx =18integral(1-cos(4x)),dx\frac{1}{8}\int1,dx-\frac{1}{8}\int\cos(4x),dx
=\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4x)}{4}+C
=\frac{x}{8}-\frac{\sin(4x)}{32}+C. 18integral1,dx-18integralcos(4x),dx =18x-18cdotsin(4x)4+C =x8-sin(4x)32+Cã\frac{x}{8}-\frac{\sin(4x)}{32}
=\frac{1}{4}\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{\sin(4x)}{8}\Bigr)+C.$$

Resposta

integral sin^2 xcos^2 x,dx=14l(x2-sin(4x)8r)+C.

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