Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral z^2+z-10(2 z-3)(z^2+4) d z=12 ln (z^2+4)-12 ln |2 z-3|+arctan (z2)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral z^2+z-10(2z-3)(z^2+4),dz e mostrar que o resultado é uma combinação de logaritmos e arctan. Vamos usar decomposição em frações parciais e propriedades básicas de integrais de funções racionais.

Passo 2

Começamos decompondo a fração:
z^2+z-10(2z-3)(z^2+4) = A2z-3 + Bz+Cz^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (2z-3)(z^2+4) obtemos
z^2+z-10 = A(z^2+4) + (Bz+C)(2z-3)

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A z^2 + 4A + 2B z^2 -3B z + 2C z -3C = (A+2B)z^2 + (-3B+2C)z + (4A-3C)

Passo 5

Comparando coeficientes com z^2+z-10 formamos o sistema:
A + 2B = 1,-3B + 2C = 1,4A - 3C = -10

Passo 6

Resolvendo: de A+2B=1 vem A=1-2B. De -3B+2C=1 vem C=(1+3B)/2. Substituindo em 4A-3C=-10 achamos B=1, depois A=-1 e C=2. Então
z^2+z-10(2z-3)(z^2+4) = -12z-3 + z+2z^2+4

Passo 7

Agora integramos termo a termo:
  1. integral -12z-3,dz = -12ln|2z-3|
  2. integral zz^2+4,dz: faça u=z^2+4, du=2z,dz, resultando em tfrac12ln(z^2+4)
  3. integral 2z^2+4,dz = 2cdot12arctanl(tfracz2r)=arctanl(tfracz2r)

Passo 8

Somando tudo, obtemos a forma final da primitiva.

Resposta

12lnl(z^2+4r)-12ln|2z-3|+arctanl(tfracz2r)+C

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