O enunciado pede para calcular e mostrar que o resultado é uma combinação de logaritmos e arctan. Vamos usar decomposição em frações parciais e propriedades básicas de integrais de funções racionais.
Passo 2
Começamos decompondo a fração:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por obtemos
Passo 4
Expandindo o lado direito:
Passo 5
Comparando coeficientes com formamos o sistema:
Passo 6
Resolvendo: de A+2B=1 vem A=1-2B. De -3B+2C=1 vem C=(1+3B)/2. Substituindo em 4A-3C=-10 achamos B=1, depois A=-1 e C=2. Então
z^2+z-10(2z-3)(z^2+4) = -12z-3 + z+2z^2+4
Passo 7
Agora integramos termo a termo:
integral -12z-3,dz = -12ln|2z-3|
integral zz^2+4,dz: faça u=z^2+4, du=2z,dz, resultando em tfrac12ln(z^2+4)
integral 2z^2+4,dz = 2cdot12arctanl(tfracz2r)=arctanl(tfracz2r)