Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral y^2(y-1)^3 d y=ln |y-1|-2y-1-12(y-1)^2+C

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral y^2(y-1)^3,dy e mostrar que ela é igual a ln|y-1|-tfrac2y-1-tfrac12(y-1)^2+C. O conteúdo aqui é a integração de uma função racional; vamos usar uma substituição que simplifica o denominador, expandir em potências e integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=y-1. Daí du=dy e y=u+1. Substituindo em y^2/(y-1)^3 temos:
y^2(y-1)^3=(u+1)^2u^3=u^2+2u+1u^3=u^-1+2u^-2+u^-3

Passo 3

Agora a integral se torna
integral y^2(y-1)^3,dy=integrall(u^-1+2u^-2+u^-3r),du

Passo 4

Integramos cada termo usando as fórmulas integral u^-1du=ln|u| e integral u^ndu=tfracu^n+1n+1 para nneq-1:
integral u^-1du=ln|u|,
integral 2u^-2du=2cdotl(u^-1r)times(-1)= -2u^-1,
integral u^-3du=u^-2-2= -12u^-2

Passo 5

Juntando tudo:
ln|u|-2u^-1-12u^-2+C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original y com u=y-1. Assim a antiderivada é exatamente
ln|y-1| - 2y-1 - 12(y-1)^2 + C

Resposta

integral y^2(y-1)^3,dy=ln|y-1|-2y-1-12(y-1)^2+C

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