Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral cos (x) sin (2 x) d x=-23 cos ^3 x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos(x),sin(2x),dx. O conteúdo aqui é cálculo de integrais de funções trigonométricas, e vamos usar uma identidade trigonométrica junto com substituição.

Passo 2

Usando a identidade sin(2x)=2sin(x)cos(x), reescrevemos o integrando:
cos(x)sin(2x)=cos(x)cdot2sin(x)cos(x)=2sin(x)cos^2(x)

Passo 3

Assim a integral vira
integralcos(x)sin(2x),dx=integral2sin(x)cos^2(x),dx

Passo 4

Fazemos a substituição u=cos(x), o que dá du=-sin(x),dx ou sin(x),dx=-du. Substituindo,
integral2sin(x)cos^2(x),dx=2integralcos^2(x)sin(x),dx=2integral u^2(-du)=-2integral u^2,du

Passo 5

Agora integramos em u:
-2integral u^2,du=-2cdotu^33+C=-23u^3+C

Passo 6

Voltando a u=cos(x), obtemos o resultado final:
-23cos^3(x)+C

Resposta

-\tfrac{2}{3}\cos^3(x)+C

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