Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral x^3 raiz4-x^2 d x=15(4+x^2)^52-43(4+x^2)^32+C

Passo 1

Primeiro, a gente quer calcular a integral integral x^3raiz4 + x^2,dx. O conteúdo aqui é o método de substituição, e vamos precisar: escolher uma substituição que simplifique raiz4 + x^2, escrever x,dx e x^2 em termos da nova variável e lembrar que para qualquer nneq -1 vale integral u^n,du=tfracu^n+1n+1+C.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 4 + x^2. Então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = tfrac12,du
Além disso, x^2 = u - 4. Assim, o integrando x^3raiz4 + x^2,dx = x^2cdot x,dxcdot u^1/2 fica
x^3raiz4 + x^2,dx = (u - 4)cdot u^1/2cdot tfrac12,du = tfrac12l(u^3/2 - 4u^1/2r)du

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente usando potência de u:
integral tfrac12u^3/2du = tfrac12cdot tfracu^5/25/2 = tfrac15u^5/2,
integral tfrac12(-4u^1/2)du = -2integral u^1/2du = -2cdot tfracu^3/23/2 = -tfrac43u^3/2

Passo 4

Somando, obtemos
integral x^3raiz4 + x^2,dx = tfrac15u^5/2 - tfrac43u^3/2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x com u = 4 + x^2.

Resposta

integral x^3raiz4 + x^2,dx = 15(4 + x^2)^5/2 - 43(4 + x^2)^3/2 + C.

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