Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por partes:
integral arccos x-xraiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral arccos x - xraiz1 - x^2,dx
usando a técnica de integração por partes. O conteúdo é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e precisamos conhecer: a derivada
ddx(arccos x) = -1raiz1 - x^2
o antiderivado
integral dxraiz1 - x^2 = arcsin x
além de como integrar x/raiz1-x^2 e arcsin x.

Passo 2

Escolhemos em integral arccos x - xraiz1 - x^2,dx as funções
u = arccos x - x, dv = dxraiz1 - x^2
Assim,
du = l(-1raiz1 - x^2 - 1r)dx, v = arcsin x

Passo 3

Aplicamos então a fórmula de partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
ficando
integral arccos x - xraiz1 - x^2,dx = (arccos x - x)arcsin x - integral arcsin x l(-1raiz1 - x^2 - 1r)dx
Reorganizando o sinal,
= (arccos x - x)arcsin x + integral arcsin xraiz1 - x^2,dx + integral arcsin x,dx

Passo 4

Para a primeira integral
I1 = integral arcsin xraiz1 - x^2,dx,
fazemos a substituição t = arcsin x, então dt = dxraiz1 - x^2. Logo,
I1 = integral t,dt = t^22 = (arcsin x)^22

Passo 5

Para a segunda integral
I2 = integral arcsin x,dx
usamos partes com
u = arcsin x, dv = dx
então
du = dxraiz1 - x^2, v = x
Logo,
I2 = xarcsin x - integral xraiz1 - x^2,dx = xarcsin x + raiz1 - x^2

Passo 6

Agora juntamos tudo:
integral arccos x - xraiz1 - x^2,dx = (arccos x - x)arcsin x + (arcsin x)^22 + xarcsin x + raiz1 - x^2 + C
Observe que
arcsin x + arccos x = pi2
implica
(arcsin x)^2/2 + (arccos x)(arcsin x) = pi^28 - (arccos x)^22,
então, absorvendo constantes, obtemos a forma mais simples.

Passo 7

Usando a identidade acima e absorvendo constantes em +C, a resposta final é
raiz1 - x^2 - (arccos x)^22 + C

Resposta

raiz1 - x^2 - tfrac(arccos x)^22 + C

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