Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral e^x tan e^x d x=-ln (cos e^x)+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que integral e^xtanl(e^xr),dx=-lnl(cos e^xr)+C, usando integração por substituição e a fórmula da integral de tan.

Passo 2

Fazemos a substituição u = e^x. Como a derivada de e^x é e^x, temos du = e^x,dx.
Com essa troca, a integral original se transforma em
integral e^xtanl(e^xr),dx = integral tan(u),du

Passo 3

Agora usamos a fórmula conhecida
integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r| + C

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = e^x e obtemos
-lnl|cos(e^x)r| + C
Como na igualdade dada não aparecem barras de valor absoluto, escrevemos
-lnl(cos(e^x)r) + C, que é exatamente o que se queria mostrar.

Resposta

-\ln\bigl(\cos(e^{x})\bigr)+C

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