Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral sec ^2 x ln (tan x) d x=tan x(ln tan x-1)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sec^2 x ln(tan x),dx e mostrar que o resultado é tan x(lntan x-1)+C. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, identificamos u e dv: escolhemos u = ln(tan x) e dv = sec^2 x,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = ddx[ln(tan x)],dx = sec^2 xtan x,dx, v = integral sec^2 x,dx = tan x

Passo 4

Agora usamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du:
integral sec^2 x ln(tan x),dx = ln(tan x)cdot tan x - integral tan x cdot sec^2 xtan x,dx

Passo 5

Dentro da integral remanescente, tan x cancela:
integral tan x cdot sec^2 xtan x,dx = integral sec^2 x,dx = tan x
Logo a integral fica
tan x ln(tan x) - tan x + C = tan xl(ln(tan x)-1r) + C

Resposta

tan xl(ln(tan x)-1r)+C

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