Resolva as integrais para concluir as igualdades.
integral sinh x cos x d x=12(cosh x cos x+sinh x sin x)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sinh x,cos x,dx e mostrar que ela é igual a tfrac12(cosh xcos x+sinh xsin x)+C. Vamos usar o método de integração por partes e as propriedades de derivação das funções hiperbólicas e trigonométricas.

Passo 2

Escolhemos u=sinh x e dv=cos x,dx. Então du=cosh x,dx e v=sin x. Aplicando a fórmula integral u,dv=u v-integral v,du obtemos:
integral sinh xcos x,dx=sinh xsin x-integral sin xcosh x,dx

Passo 3

Para resolver integral sin xcosh x,dx, fazemos outra integração por partes: seja u=cosh x e dv=sin x,dx. Assim du=sinh x,dx e v=-cos x. Logo:
integral sin xcosh x,dx=,-cosh xcos x+integral cos xsinh x,dx

Passo 4

Substituímos esse resultado na expressão original. Chamando I=integral sinh xcos x,dx, temos:
I=sinh xsin x-l(-cosh xcos x+Ir)=sinh xsin x+cosh xcos x- I
Isolando I vem
2I=cosh xcos x+sinh xsin x
e então
I=12l(cosh xcos x+sinh xsin xr)+C

Resposta

12(cosh xcos x+sinh xsin x)+C

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