Resolva as integrais definidas abaixo, aplicando substituição de variável sempre que necessário. Cada item vale 0,625 ponto.
integral0^1 x cdot cos (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x cosl(x^2r),dx
usando o método de substituição de variável. Vamos aproveitar que a derivada de x^2 aparece junto com x,dx.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^2,
então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = tfrac12,du
Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1.

Passo 3

Fazendo a troca de variável e ajustando os limites, temos
integral0^1 x cosl(x^2r),dx = integralu=0^u=1 cos(u),du2 = tfrac12 integral0^1 cos(u),du

Passo 4

Sabemos que
integral cos(u),du = sin(u)
Logo,
tfrac12 integral0^1 cos(u),du = tfrac12l[sin(u)r]0^1 = tfrac12l(sin(1)-sin(0)r) = tfrac12,sin(1)

Resposta

sin(1)2

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