Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int(x-\operatorname{cossec}(x) \cdot \operatorname{cotg}(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(x - \csc(x)\,\cot(x)\bigr)\,dx.
Vamos usar integração termo a termo e lembrar que
\frac{d}{dx}\bigl[\csc(x)\bigr] = -\,\csc(x)\,\cot(x).

Passo 2

Integramos o termo x. Sabemos que
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Integramos o termo -\csc(x)\,\cot(x). Como
\frac{d}{dx}\bigl[\csc(x)\bigr] = -\,\csc(x)\,\cot(x),
seguem-se
\int \csc(x)\,\cot(x)\,dx = -\,\csc(x) \quad\Longrightarrow\quad \int \bigl(-\csc(x)\,\cot(x)\bigr)\,dx = +\,\csc(x).

Passo 4

Somando as duas partes temos
\int\bigl(x - \csc(x)\,\cot(x)\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \csc(x) + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + \csc(x) + C.

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