Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int\left(\operatorname{cossec}^{2}(x)-5 e^{-2 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x)=\csc^{2}(x)-5e^{-2x}
ou seja, calcular
\int\bigl(\csc^{2}(x)-5e^{-2x}\bigr)\,dx.
Para isso usaremos a linearidade da integral, a antiderivada de \csc^2(x) e a fórmula para integrar exponenciais.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes pela propriedade
\int\bigl(\csc^{2}(x)-5e^{-2x}\bigr)\,dx =\int\csc^{2}(x)\,dx \;-\;5\int e^{-2x}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, lembramos que \displaystyle\frac{d}{dx}[\cot(x)]=-\csc^2(x). Logo,
\int\csc^{2}(x)\,dx=-\cot(x)+C_1.

Passo 4

Para a segunda parte, aplicamos \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}. Aqui a=-2, então
\int e^{-2x}\,dx=\frac{1}{-2}e^{-2x}=-\tfrac12e^{-2x}
e multiplicando por -5 obtemos
-5\int e^{-2x}\,dx=-5\Bigl(-\tfrac12e^{-2x}\Bigr)=\tfrac{5}{2}e^{-2x}+C_2.

Passo 5

Somando as duas partes e agregando as constantes em uma só C, a primitiva geral é
-\cot(x)+\tfrac{5}{2}e^{-2x}+C.

Resposta

\int\bigl(\csc^{2}(x)-5e^{-2x}\bigr)\,dx =-\cot(x)+\frac{5}{2}e^{-2x}+C.

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