Resolva as integrais indefinidas abaixo, usando o método de substituição de variáveis:
\int x \cdot \sqrt{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \cdot \sqrt{x-1}\,dx
usando o método de substituição de variáveis.

Passo 2

Fazemos a troca
u = x - 1, \quad du = dx, \quad x = u + 1.
Assim o integrando fica
x\sqrt{x-1}\,dx = (u+1)\sqrt{u}\,du = (u+1)\,u^{1/2}\,du = u^{3/2} + u^{1/2}\,du.

Passo 3

Agora integramos termo a termo em u:
\int\bigl(u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du = \int u^{3/2}\,du + \int u^{1/2}\,du = \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x com u=x-1, obtemos uma primitiva
\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C

Exercícios relacionados