Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int_{0}^{2 \sqrt{2}}\left(\sqrt{x^{3}}-\sqrt[3]{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede tanto a integral indefinida quanto a integral definida da função
f(x)=\sqrt{x^{3}}-\sqrt[3]{x^{2}}
no intervalo de 0 a 2\sqrt{2}. O conteúdo principal é a integração de potências, usando a fórmula
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em potências de x:
\sqrt{x^{3}}=x^{3/2}, \quad \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}.
Portanto
\int\bigl(\sqrt{x^{3}}-\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)dx =\int\bigl(x^{3/2}-x^{2/3}\bigr)dx.

Passo 3

Aplicando a fórmula de potências, obtemos uma primitiva
F(x) =\frac{x^{(3/2)+1}}{\tfrac{3}{2}+1} -\frac{x^{(2/3)+1}}{\tfrac{2}{3}+1} +C =\frac{2}{5}\,x^{5/2}-\frac{3}{5}\,x^{5/3}+C.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de 0 a 2\sqrt2 é
\int_{0}^{2\sqrt2}\bigl(x^{3/2}-x^{2/3}\bigr)dx =F(2\sqrt2)-F(0).
Como F(0)=0, basta calcular F(2\sqrt2).

Passo 5

Para x=2\sqrt2=2^{3/2} temos
(2\sqrt2)^{5/2}=2^{(3/2)\cdot(5/2)}=2^{15/4}, \quad (2\sqrt2)^{5/3}=2^{(3/2)\cdot(5/3)}=2^{5/2}.
Assim
F(2\sqrt2) =\frac{2}{5}\,2^{15/4}-\frac{3}{5}\,2^{5/2} =\frac{16}{5}\,2^{3/4}-\frac{12}{5}\,2^{1/2}.

Resposta

A integral indefinida é
\int\bigl(\sqrt{x^{3}}-\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)dx =\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{3}{5}x^{5/3}+C.
A integral definida de 0 a 2\sqrt2 vale
\frac{16}{5}\,2^{3/4}-\frac{12}{5}\,2^{1/2}.

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