Seja
o potencial elétrico num ponto
, determine:
A direção e sentido em que se dá a menor taxa de variação de
em
.
A direção e sentido em que se dá a menor taxa de variação de
Passo 1
O enunciado pede para achar a direção e sentido onde a variação de V(x,y,z)=1/√(x²+y²+z²) é mínima (ou seja, decai mais rápido) no ponto P=(2,2,−1). Isso é matéria de gradiente e derivada direcional: precisamos achar ∇V e usar que a menor derivada direcional ocorre na direção oposta ao gradiente.
Passo 2
Definimos r=√(x²+y²+z²). Como V=r⁻¹, temos f’®=−r⁻² e ∇r=(x,y,z)/r. Logo
[\nabla V = f’®,\nabla r = -\frac{1}{r^2}\cdot\frac{(x,y,z)}{r} = -\frac{(x,y,z)}{r^3}\n]
[\nabla V = f’®,\nabla r = -\frac{1}{r^2}\cdot\frac{(x,y,z)}{r} = -\frac{(x,y,z)}{r^3}\n]
Passo 3
A derivada direcional de V na direção de um vetor unitário u é D_uV = ∇V·u. O menor valor de D_uV é −||∇V||, alcançado quando u é exatamente −∇V/||∇V||.
Passo 4
No ponto P temos r=√(2²+2²+(−1)²)=3, então
[\nabla V(2,2,-1) = -\frac{(2,2,-1)}{3^3} = \Bigl(-\frac{2}{27},-\frac{2}{27},\frac{1}{27}\Bigr)\n]
[\nabla V(2,2,-1) = -\frac{(2,2,-1)}{3^3} = \Bigl(-\frac{2}{27},-\frac{2}{27},\frac{1}{27}\Bigr)\n]
Passo 5
O vetor unitário oposto a esse gradiente é
[u = -\frac{\nabla V(2,2,-1)}{|\nabla V(2,2,-1)|} = \frac{(2,2,-1)}{3} = \Bigl(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\Bigr)\n]
[u = -\frac{\nabla V(2,2,-1)}{|\nabla V(2,2,-1)|} = \frac{(2,2,-1)}{3} = \Bigl(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\Bigr)\n]
Resposta
A direção e sentido de menor variação de V em (2,2,−1) é dado pelo vetor unitário (2/3, 2/3, −1/3).