Resolva as integrais definidas:
integral0^pi x cos (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi xcos(x^2),dx. O conteúdo aqui é mudança de variável (substituição) em integrais definidas, e vamos usar essa técnica para simplificar a expressão.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^2. Então, derivando ambos os lados, temos du = 2x,dx, o que implica x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Agora trocamos os limites: quando x=0, u=0^2=0; quando x=pi, u=pi^2. Substituindo na integral original, obtemos
integral0^pi xcos(x^2),dx = integral0^pi^2 cos(u),12,du = tfrac12integral0^pi^2cos(u),du

Passo 4

A antiderivada de cos(u) é sin(u). Assim,
tfrac12integral0^pi^2cos(u),du = tfrac12l[sin(u)r]0^pi^2 = tfrac12l(sin(pi^2) - sin(0)r) = tfrac12sin(pi^2)

Resposta

tfracsin(pi^2)2

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