Encontre a solução geral das equações:
y^prime prime+y=cosec(t)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
y'' + y = cosec(t)
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Então, a matéria envolvida inclui equações diferenciais lineares e métodos de solução como o da equação homogênea e a busca por soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser escrita usando funções trigonométricas. A solução geral é:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
y'' + y = cosec(t)
Para isso, usamos o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea $ y_h(t) $, que já encontramos:
yh(t)
y1(t) = cos(t)

Passo 4

A solução particular $ y_p(t) $ pode ser escrita como:
yp(t)
Onde $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ são funções que precisamos determinar. Para encontrar essas funções, usamos as seguintes fórmulas derivadas do método de variação dos parâmetros:
yp(t) = u1(t) cos(t) + u2(t) sin(t)
u1(t)
Aqui, $ W(t) $ é o determinante de Wronskian das soluções homogêneas:
u2(t)
Calculando o Wronskian para nossas soluções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $:
u1'(t) = -y2(t) cdot cosec(t)W(t)

Passo 5

Agora, simplificamos as expressões para $ u_1’(t) $ e $ u_2’(t) $:
u1'(t)
u2'(t)
Agora, integramos para encontrar $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $:
u1'(t) = -sin(t) cdot cosec(t) = -sin(t) cdot 1sin(t) = -1
u2'(t) = cos(t) cdot cosec(t) = cos(t) cdot 1sin(t) = cot(t)
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração ($ C $).

Passo 6

Substituímos $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ na expressão para $ y_p(t) $:
u1(t)
Simplificando:
u2(t)

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - t cos(t) + ln(sin(t)) sin(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = \operatorname{cosec}(t) $ é:
y'' + y = cosec(t)
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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