Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Então, a matéria envolvida inclui equações diferenciais lineares e métodos de solução como o da equação homogênea e a busca por soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea pode ser escrita usando funções trigonométricas. A solução geral é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Para isso, usamos o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea $ y_h(t) $, que já encontramos:
Passo 4
A solução particular $ y_p(t) $ pode ser escrita como:
Onde $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ são funções que precisamos determinar. Para encontrar essas funções, usamos as seguintes fórmulas derivadas do método de variação dos parâmetros:
Aqui, $ W(t) $ é o determinante de Wronskian das soluções homogêneas:
Calculando o Wronskian para nossas soluções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $:
Passo 5
Agora, simplificamos as expressões para $ u_1’(t) $ e $ u_2’(t) $:
Agora, integramos para encontrar $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração ($ C $).
Passo 6
Substituímos $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ na expressão para $ y_p(t) $:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ + y = \operatorname{cosec}(t) $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.