Resolva as integrais definidas:
integral0^1 xraizx^2+1 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x/raizx^2+1 em x. O assunto é cálculo de integrais por substituição simples: vamos identificar uma parte da função cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Para usar a técnica de substituição, note que se definirmos a variável u como u = x^2 + 1, então derivando ambos os lados em relação a x temos:
du = 2x,dx
Dessa forma, podemos escrever x,dx = du/2 e a raiz raizx^2+1 vira raizu.

Passo 3

Substituindo na integral original trocamos tudo em termos de u. Os limites mudam também: quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Assim a integral fica:
integral0^1xraizx^2+1,dx = integralu=1^u=21raizucdotdu2 = 12integral1^2u^-1/2,du

Passo 4

Agora basta calcular a antiderivada de u^-1/2. Sabendo que integral u^n,du = u^n+1/(n+1) para nneq -1, temos
12integral1^2u^-1/2,du = 12cdotl[2u^1/2r]1^2 = l[u^1/2r]1^2 = raiz2 - raiz1

Passo 5

Portanto, avaliando nos limites finais, o valor da integral é raiz2-1.

Resposta

raiz2 - 1

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