Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-2^2 x^3x^2+1 dx. Esse exercício está relacionado ao estudo de propriedades de simetria em funções e integrais. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se a função é par ou ímpar e usar essa propriedade para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções par e ímpar:
  • Função Par: Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $. Exemplo: $ f(x) = x^2 $.
  • Função Ímpar: Uma função $ f(x) $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $. Exemplo: $ f(x) = x^3 $.
Agora, vamos analisar a função que está dentro da integral: $ \frac{x{3}}{x{2}+1} $.

Passo 3

Vamos verificar se essa função é par ou ímpar:
Calculamos $ f(-x) = \frac{(-x){3}}{(-x){2}+1} = \frac{-x{3}}{x{2}+1} = -\frac{x{3}}{x{2}+1} = -f(x) $
Como $ f(-x) = -f(x) $, a função é ímpar.

Passo 4

Sabemos que se uma função $ f(x) $ é ímpar, então a integral dela de f(x) a -a é zero:
a
Nesse caso, nosso intervalo é de integral-a^a f(x) dx = 0 a -2, e $ a = 2 $.

Passo 5

Aplicando essa propriedade à nossa integral:
integral-2^2 x^3x^2+1 dx = 0

Resposta

0

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