Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício está relacionado ao estudo de propriedades de simetria em funções e integrais. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se a função é par ou ímpar e usar essa propriedade para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções par e ímpar:
- Função Par: Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $. Exemplo: $ f(x) = x^2 $.
- Função Ímpar: Uma função $ f(x) $ é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $. Exemplo: $ f(x) = x^3 $.
Agora, vamos analisar a função que está dentro da integral: $ \frac{x{3}}{x{2}+1} $.
Passo 3
Vamos verificar se essa função é par ou ímpar:
Calculamos $ f(-x) = \frac{(-x){3}}{(-x){2}+1} = \frac{-x{3}}{x{2}+1} = -\frac{x{3}}{x{2}+1} = -f(x) $
Como $ f(-x) = -f(x) $, a função é ímpar.
Passo 4
Sabemos que se uma função $ f(x) $ é ímpar, então a integral dela de
a
é zero:
Nesse caso, nosso intervalo é de
a
, e $ a = 2 $.
Passo 5
Aplicando essa propriedade à nossa integral:
Resposta
0