Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. O assunto aqui é cálculo integral, mais especificamente as propriedades de simetria que ajudam a simplificar integrais. Vamos precisar identificar se as funções dentro da integral são pares ou ímpares para usar essas propriedades a nosso favor.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções dentro da integral:
-
: Essa função é par porque, se substituir por , o resultado não muda ( ). -
: Essa também é uma função par pelo mesmo motivo. Se substituirmos por , continuamos com .
Passo 3
Como ambas as funções são pares e a integração é de
a
, podemos usar a propriedade da simetria para funções pares, que diz:
Isso facilita nossa conta, pois agora só precisamos integrar de
a
e multiplicar o resultado por
.
Passo 4
Aplicando a propriedade para cada termo da integral:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para
:
Então,
Passo 6
Para
:
Essa integral representa a área de um quarto de círculo de raio
. A integral completa de
a
é a área de um semicírculo, que é
.
Então,
Resposta
Somando as duas partes: