Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^1(x^4+raiz1-x^2) dx. O assunto aqui é cálculo integral, mais especificamente as propriedades de simetria que ajudam a simplificar integrais. Vamos precisar identificar se as funções dentro da integral são pares ou ímpares para usar essas propriedades a nosso favor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções dentro da integral:
  • x^4: Essa função é par porque, se substituir x por -x, o resultado não muda ( (-x)^4 = x^4).
  • raiz1 - x^2: Essa também é uma função par pelo mesmo motivo. Se substituirmos x por -x, continuamos com raiz1 - (-x)^2 = raiz1 - x^2.

Passo 3

Como ambas as funções são pares e a integração é de -1 a 1, podemos usar a propriedade da simetria para funções pares, que diz:
integral-a^a f(x) dx = 2 integral0^a f(x) dx
Isso facilita nossa conta, pois agora só precisamos integrar de 0 a 1 e multiplicar o resultado por 2.

Passo 4

Aplicando a propriedade para cada termo da integral:
integral-1^1 x^4 dx = 2 integral0^1 x^4 dx
integral-1^1 raiz1 - x^2 dx = 2 integral0^1 raiz1 - x^2 dx

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para x^4:
integral x^4 dx = x^55 + C
Então,
2 integral0^1 x^4 dx = 2 [ 1^55 - 0^55 ] = 2 ( 15 ) = 25

Passo 6

Para raiz1 - x^2:
Essa integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1. A integral completa de -1 a 1 é a área de um semicírculo, que é pi2.
Então,
2 integral0^1 raiz1 - x^2 dx = pi2

Resposta

Somando as duas partes:
25 + pi2

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