Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
, onde (com exceção do ponto ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral-a^a sin(x)x dx, onde a > 0. O conteúdo aqui envolve propriedades de simetria de funções. Vamos precisar entender se a função sin(x)x é par ou ímpar para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função sin(x)x é par ou ímpar. Lembrando que uma função f(x) é par se f(-x) = f(x) e ímpar se f(-x) = -f(x).

Passo 3

Vamos calcular f(-x):
f(-x) = sin(-x)-x = -sin(x)-x = sin(x)x = f(x)
Como f(-x) = f(x), a função sin(x)x é par.

Passo 4

Sabendo que a função é par, a integral de -a a a pode ser simplificada usando a simetria:
integral-a^a sin(x)x dx = 2 integral0^a sin(x)x dx
Isso facilita o cálculo, pois agora só precisamos integrar de 0 a a.

Resposta

A integral definida é igual a duas vezes a integral de 0 a a de sin(x)x dx:
integral-a^a sin(x)x dx = 2 integral0^a sin(x)x dx

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