1. sumk=1^+infty 1raizk(k+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumk=1^+infty 1raizk(k+1). O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar de um critério de comparação para ver se ela converge ou diverge.

Passo 2

A ideia é usar o teste da comparação: se ak e bk são termos não-negativos e ak>= bk para todo k, então, se sum bk diverge, sum ak também diverge.

Passo 3

Para fazer a comparação, note que para k>=1 vale
raizk(k+1)=raizk^2+k
Invertendo essa desigualdade, obtemos
1raizk(k+1)>1k+1

Passo 4

Como sabemos que a série harmônica deslocada
sumk=1^+infty1k+1
diverge (é o mesmo comportamento de sum1/k), pelo teste da comparação concluímos que
sumk=1^+infty1raizk(k+1)
também diverge.

Resposta

A série diverge (não converge).

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