Resolva as integrais definidas a seguir, utilizando as propriedades de simetria.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a integral definida de sin^3(x) de -pi a pi usando propriedades de simetria. Isso significa que vamos utilizar conhecimentos sobre funções pares e ímpares para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função f(x) é ímpar se f(-x) = -f(x) para todos os x. Já uma função é par se f(-x) = f(x). No nosso caso, sin(x) é uma função ímpar porque sin(-x) = -sin(x).

Passo 3

Agora, como temos sin^3(x), que é sin(x) elevada a uma potência ímpar, a função resultante também será ímpar. Vamos verificar:
sin^3(-x) = (sin(-x))^3 = (-sin(x))^3 = -sin^3(x)
Então, sin^3(x) é uma função ímpar.

Passo 4

Uma propriedade importante das funções ímpares é que a integral definida de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero. Ou seja:
integral-a^a f(x) dx = 0 se f for ímpar í
No nosso caso, o intervalo é de -pi a pi, que é simétrico.

Passo 5

Aplicando essa propriedade na nossa integral:
integral-pi^pi sin^3(x) dx = 0
Porque sin^3(x) é ímpar e o intervalo é simétrico.

Resposta

integral-pi^pi sin^3(x) dx = 0

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