1. sumk=1^+infty(-1)^k+1 k3^k

Passo 1

O enunciado pede a soma da série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1k3^k. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar a fórmula conhecida para sumk=1^inftyk x^k.

Passo 2

Lembrando a série geométrica básica, temos para |x|<1:
sumk=1^inftyx^k = x1-x

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x e multiplicando por x obtemos:
sumk=1^inftyk x^k = x(1-x)^2

Passo 4

Para a nossa série, queremos x = -tfrac13. Então:
sumk=1^inftykl(-tfrac13r)^k = -tfrac13l(1 + tfrac13r)^2 = -tfrac13l(tfrac43r)^2 = -1/316/9 = -316

Passo 5

Note que nossa série original é
sumk=1^infty(-1)^k+1k3^k = -sumk=1^inftykl(-tfrac13r)^k
Portanto basta mudar o sinal em -3/16, dando o resultado final.

Passo 6

Concluímos que
sumk=1^infty(-1)^k+1k3^k = 316

Resposta

tfrac316

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