Resolva as integrais duplas
integral0^1 integral-3^3 x y^2x^2+1 d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver uma integral dupla:
integral0^1 integral-3^3 x y^2x^2+1 , dy , dx
Esse tipo de problema envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a $ y $:
y
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante porque estamos integrando com respeito a $ y $.

Passo 3

A função dentro da integral pode ser simplificada. Observe que:
x y^2x^2+1 = x cdot y^2x^2+1
Como $ x $ e $ x^2 + 1 $ são constantes em relação a $ y $, podemos tirar essa parte de fora da integral.

Passo 4

Então, a integral interna fica:
x cdot 1x^2+1 integral-3^3 y^2 , dy
Agora, precisamos calcular:
integral-3^3 y^2 , dy

Passo 5

A função $ y^{2} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo $ y $. Isso significa que:
y^2
Aplicando isso com $ a = 3 $:
y

Passo 6

Agora, calculamos a integral mais simples:
integral0^3 y^2 , dy = [ y^33 ]0^3 = 273 - 0 = 9
Então:
integral-3^3 y^2 , dy = 2 times 9 = 18

Passo 7

Voltando à integral interna:
x cdot 1x^2+1 times 18 = 18xx^2+1
Agora, a integral dupla original simplifica para:
integral0^1 18xx^2+1 , dx

Passo 8

Vamos resolver essa última integral. Podemos usar uma substituição simples:
  • Seja $ u = x^{2} + 1 $
  • Então, $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $

Passo 9

Substituindo na integral:
integral 18xx^2+1 , dx = 18 integral xx^2+1 , dx = 18 times 12 integral 1u , du = 9 integral 1u , du
A integral de $ \frac{1}{u} $ é $ \ln|u| $.

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
9 [ ln|u| ]u=1^u=2 = 9 ( ln 2 - ln 1 ) = 9 ln 2
(Observação: quando $ x = 0 $, $ u = 0^{2} +1 =1 $ e quando $ x =1 $, $ u =1^{2} +1 =2 $).

Resposta

A integral dupla vale $ 9 \ln 2 $.

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