Resolva as integrais duplas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver uma integral dupla:
Esse tipo de problema envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é tratado como uma constante porque estamos integrando com respeito a $ y $.
Passo 3
A função dentro da integral pode ser simplificada. Observe que:
Como $ x $ e $ x^2 + 1 $ são constantes em relação a $ y $, podemos tirar essa parte de fora da integral.
Passo 4
Então, a integral interna fica:
Agora, precisamos calcular:
Passo 5
A função $ y^{2} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo $ y $. Isso significa que:
Aplicando isso com $ a = 3 $:
Passo 6
Agora, calculamos a integral mais simples:
Então:
Passo 7
Voltando à integral interna:
Agora, a integral dupla original simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver essa última integral. Podemos usar uma substituição simples:
- Seja $ u = x^{2} + 1 $
- Então, $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $
Passo 9
Substituindo na integral:
A integral de $ \frac{1}{u} $ é $ \ln|u| $.
Passo 10
Aplicando os limites de integração:
(Observação: quando $ x = 0 $, $ u = 0^{2} +1 =1 $ e quando $ x =1 $, $ u =1^{2} +1 =2 $).
Resposta
A integral dupla vale $ 9 \ln 2 $.