Resolva as integrais duplas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me enviou! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, um tópico de Cálculo Integral que envolve calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da integral dupla. A integral está organizada da seguinte maneira:
Isso significa que vamos integrar a função
primeiro em relação a y, mantendo x constante, e depois integrar o resultado em relação a x.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integração em relação a y:
Aqui, x é tratada como uma constante. Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos fazendo integrais definidas.
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes e aplicamos os limites de integração de y = 1 a y = 2:
Vamos substituir os limites:
- Para y = 2:
- Para y = 1:
Subtraindo o segundo valor do primeiro:
Passo 6
Agora, temos que integrar o resultado em relação a x, com os limites de x = 1 a x = 4:
Vamos separar essa integral também:
Passo 7
Vamos resolver cada parte:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de x = 1 a x = 4:
- Para a primeira parte:
- Para a segunda parte:
Passo 9
Agora, somamos as duas partes:
Podemos simplificar
como
:
Resposta
A integral dupla vale
.