Resolva as integrais duplas
integral1^4 integral1^2(xy+yx) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me enviou! O enunciado é:
integral1^4 integral1^2 (xy + yx) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, um tópico de Cálculo Integral que envolve calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da integral dupla. A integral está organizada da seguinte maneira:
integralx=1^4 ( integraly=1^2 (xy + yx) dy ) dx
Isso significa que vamos integrar a função xy + yx primeiro em relação a y, mantendo x constante, e depois integrar o resultado em relação a x.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integração em relação a y:
integral1^2 (xy + yx) dy
Aqui, x é tratada como uma constante. Podemos separar essa integral em duas partes:
integral1^2 xy , dy + integral1^2 yx , dy

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira parte:
integral xy , dy = x integral 1y , dy = x ln|y| + C
  1. Segunda parte:
integral yx , dy = 1x integral y , dy = 1x cdot y^22 + C = y^22x + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos fazendo integrais definidas.

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes e aplicamos os limites de integração de y = 1 a y = 2:
[ x ln y + y^22x ]1^2
Vamos substituir os limites:
  1. Para y = 2:
x ln 2 + 2^22x = x ln 2 + 42x = x ln 2 + 2x
  1. Para y = 1:
x ln 1 + 1^22x = x cdot 0 + 12x = 12x
Subtraindo o segundo valor do primeiro:
( x ln 2 + 2x ) - ( 12x ) = x ln 2 + 2x - 12x = x ln 2 + 42x - 12x = x ln 2 + 32x

Passo 6

Agora, temos que integrar o resultado em relação a x, com os limites de x = 1 a x = 4:
integral1^4 ( x ln 2 + 32x ) dx
Vamos separar essa integral também:
ln 2 integral1^4 x , dx + 32 integral1^4 1x , dx

Passo 7

Vamos resolver cada parte:
  1. Primeira parte:
ln 2 integral x , dx = ln 2 cdot x^22 + C
  1. Segunda parte:
32 integral 1x , dx = 32 ln|x| + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de x = 1 a x = 4:
  1. Para a primeira parte:
ln 2 cdot [ x^22 ]1^4 = ln 2 cdot ( 162 - 12 ) = ln 2 cdot ( 8 - 0.5 ) = ln 2 cdot 7.5
  1. Para a segunda parte:
32 [ ln x ]1^4 = 32 ( ln 4 - ln 1 ) = 32 ( ln 4 - 0 ) = 32 ln 4

Passo 9

Agora, somamos as duas partes:
ln 2 cdot 7.5 + 32 ln 4
Podemos simplificar ln 4 como 2 ln 2:
7.5 ln 2 + 32 cdot 2 ln 2 = 7.5 ln 2 + 3 ln 2 = 10.5 ln 2

Resposta

A integral dupla vale 10,!5 cdot ln 2.

Exercícios relacionados