Determine se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.
e^-(x^2+y^2)(x d x+y d y)=0

Passo 1

Temos a equação diferencial e^-(x^2+y^2)l(x,dx+y,dyr)=0. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas: vamos verificar a exatidão e, se for exata, achar a função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Reescrevemos no formato M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=e^-(x^2+y^2)x, N(x,y)=e^-(x^2+y^2)y

Passo 3

Para checar se é exata, calculamos
partial Mpartial y=x,e^-(x^2+y^2)(-2y)=-2xy,e^-(x^2+y^2),
partial Npartial x=y,e^-(x^2+y^2)(-2x)=-2xy,e^-(x^2+y^2)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Agora, procuramos F(x,y) tal que partial F/partial x=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral x,e^-(x^2+y^2),dx

Passo 5

Fazendo a substituição u=-(x^2+y^2), com du=-2x,dx, obtemos
F(x,y)=-tfrac12e^-(x^2+y^2)+h(y),onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 6

Para determinar h(y), usamos partial F/partial y=N:
partial Fpartial y= -tfrac12e^-(x^2+y^2)(-2y)+h'(y)=y,e^-(x^2+y^2)+h'(y)
e isso deve ser igual a N=e^-(x^2+y^2)y. Logo h'(y)=0, implicando h(y)=constante

Passo 7

Assim, a função potencial é
F(x,y)=-tfrac12e^-(x^2+y^2)+C1,e a solução geral implícita fica
-tfrac12e^-(x^2+y^2)=C,que, redefinindo a constante, é equivalente a
e^-(x^2+y^2)=K

Resposta

e^-(x^2+y^2)=C

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