Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral imprópria . Isso pertence à matéria de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar limites para tratar as descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso ajuda a simplificar a fração. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2. Então:
Passo 3
Agora, a nossa integral fica:
Observamos que há uma descontinuidade em porque o denominador se anula. Como 3 está dentro do intervalo de integração [2,4], a integral é imprópria e precisamos tratá-la usando limites.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes, separando no ponto de descontinuidade:
Passo 5
Para resolver as integrais, vamos usar frações parciais. Queremos expressar como .
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então,
Passo 6
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Aplicando os limites às integrais separadas:
Passo 8
Calculando os limites:
Quando , $ \ln|a - 3| \to -\infty $
Quando , $ \ln|b - 3| \to -\infty $
As partes que tendem ao infinito se cancelam, e realizando os cálculos restantes, obtemos: