Resolva as integrais impróprias.
integral2^4 1x^2-x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral imprópria integral2^4 1x^2-x-6 , dx. Isso pertence à matéria de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar limites para tratar as descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 6. Isso ajuda a simplificar a fração. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2. Então:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Passo 3

Agora, a nossa integral fica:
integral2^4 1(x - 3)(x + 2) , dx
Observamos que há uma descontinuidade em x = 3 porque o denominador se anula. Como 3 está dentro do intervalo de integração [2,4], a integral é imprópria e precisamos tratá-la usando limites.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, separando no ponto de descontinuidade:
integral2^4 1(x - 3)(x + 2) , dx = lima to 3^- integral2^a 1(x - 3)(x + 2) , dx + limb to 3^+ integralb^4 1(x - 3)(x + 2) , dx

Passo 5

Para resolver as integrais, vamos usar frações parciais. Queremos expressar 1(x - 3)(x + 2) como Ax - 3 + Bx + 2.
Multiplicando ambos os lados por (x - 3)(x + 2), temos:
1 = A(x + 2) + B(x - 3)
Resolvendo para A e B:
  • Para x = 3:
    1 = A(5) Rightarrow A = 15
  • Para x = -2:
    1 = B(-5) Rightarrow B = -15
Então,
1(x - 3)(x + 2) = 1/5x - 3 - 1/5x + 2

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x - 3)(x + 2) , dx = 15 ln|x - 3| - 15 ln|x + 2| + C

Passo 7

Aplicando os limites às integrais separadas:
lima to 3^- [ 15 ln|a - 3| - 15 ln|a + 2| ] - [ 15 ln|2 - 3| - 15 ln|2 + 2| ]
+ limb to 3^+ [ 15 ln|4 - 3| - 15 ln|4 + 2| ] - [ 15 ln|b - 3| - 15 ln|b + 2| ]

Passo 8

Calculando os limites:
  • Quando a to 3^-, $ \ln|a - 3| \to -\infty $
  • Quando ln|a - 3| to -infty , $ \ln|b - 3| \to -\infty $
As partes que tendem ao infinito se cancelam, e realizando os cálculos restantes, obtemos:
b to 3^+

Resposta

A integral imprópria vale 15 ln(4).

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