Resolva as integrais impróprias.
integral1^infty 1(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é integral1^infty 1(x+1)^2 , dx. Aqui estamos lidando com integrais impróprias porque o limite superior do intervalo é infinito. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites e encontrar a antiderivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de 1(x+1)^2. Sabemos que 1(x+1)^2 pode ser reescrito como (x+1)^-2. A antiderivada de (x+1)^n é (x+1)^n+1n+1, desde que n neq -1.
Então, aplicando isso:
integral 1(x+1)^2 , dx = integral (x+1)^-2 , dx = (x+1)^-1-1 + C = -1x+1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites da integral de 1 até infinito. Como é uma integral imprópria, precisamos usar limites:
integral1^infty 1(x+1)^2 , dx = limb to infty [ -1x+1 ]1^b
Isso significa que vamos calcular:
limb to infty ( -1b+1 + 11+1 ) = limb to infty ( -1b+1 + 12 )

Passo 4

Agora, avaliamos o limite. Conforme b cresce para infinito, 1b+1 tende a zero:
limb to infty -1b+1 = 0
Então, temos:
0 + 12 = 12

Resposta

O valor da integral é 12.

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