Simplifique as expressões:
x^3-8x^4-16

Passo 1

A ideia aqui é simplificar a fração algébrica x^3-8x^4-16 usando fatoração e cancelamento de fatores comuns. Vamos precisar lembrar as fórmulas de soma e diferença de cubos e de diferença de quadrados.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador como diferença de cubos:
x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)
Para o denominador, usamos a diferença de quadrados duas vezes:
x^4-16 = (x^2)^2-4^2 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)

Passo 3

Agora observamos que o fator (x-2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, e podemos cancelá-lo desde que xneq2. Após o cancelamento, a expressão fica:
x^2+2x+4(x+2)(x^2+4)

Passo 4

Devemos também lembrar que o denominador original não pode ser zero, o que impede x=2 ou x=-2. Portanto a forma simplificada válida é
x^2+2x+4(x+2)(x^2+4),
com a ressalva de que xneqpm2.

Resposta

x^2+2x+4(x+2)(x^2+4), xneqpm2

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