Resolva as Integrais Indefinidas abaixo:
integral cos (x) e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral cos(x),e^2x,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, aplicada duas vezes devido à presença simultânea de e^2x e cos x.

Passo 2

Vamos chamar I=integral e^2xcos x,dx e usar a fórmula de integração por partes: integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhemos
u = e^{2x},\quad dv = \cos x,dx.
Então
I = e^2xsin x - integral sin x cdot 2e^2x,dx = e^2xsin x - 2 integral e^2xsin x,dx

Aplicando partes:

Passo 3

Agora precisamos calcular integral e^2xsin x,dx. Chamemos esse integral de J:
J = -e^2xcos x - integral(-cos x)cdot 2e^2x,dx = -e^2xcos x + 2 integral e^2xcos x,dx = -e^2xcos x + 2I
De novo por partes, com
u_1 = e^{2x},\quad dv_1 = \sin x,dx,
então


Logo,

Passo 4

Voltando para a expressão de I:
I = e^2xsin x - 2J = e^2xsin x - 2l(-e^2xcos x + 2Ir)= e^2xsin x + 2e^2xcos x - 4I
Então
I = e^2x5l(sin x + 2cos xr) + C
e, portanto,

Resposta

integral cos(x)e^2x,dx = e^2x5l(sin x + 2cos xr) + C.

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